Эконометрика

Глава 5. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

5.5. Анализ нестационарных временных рядов

По существу, рассмотренные выше (см. п. 5.3) проблемы выделения регулярных, зависящих от времени составляющих временных рядов непосредственно имели отношение к анализу именно нестационарных рядов. В данном разделе мы рассмотрим модели нестационарных рядов, которые носят название моделей авторегрессии - интегрированного скользящего среднего (АРИСС), известные также как модели Бокса-Дженкинса (по именам авторов этих моделей).

Существует широкий класс нестационарных процессов, последовательные разности которых некоторого порядка являются стационарными процессами. Примером такого типа рядов может служить ряд, содержащий полиномиальный тренд (см. п. 5.3.4). Класс АРИСС - моделей предназначен для описания нестационарных процессов, последовательные разности (соответствующего порядка) которых являются стационарными процессами, представимыми в виде моделей типа авторегрессии-скользящего среднего.

Если последовательные разности k - го порядка , полученные из исходного ряда y_t (путем применения к исходному ряду k раз оператора взятия последовательной разности) представляют собой АРСС(p,q) - процесс, то процесс y_t называется процессом авторегрессии-интегрированного скользящего среднего с параметрами p, q, k или сокращенно - АРИСС(p,q,k).

Поскольку отличительной особенностью АРИСС - процессов является то, что их путем взятия последовательных разностей можно свести к АРСС - процессам, следовательно, и для их анализа можно использовать рассмотренные выше методы анализа АРСС - процессов.

Опишем основные этапы построения АРИСС - моделей.

1) Преобразование исходного ряда и приведение его к стационарному, вычисляя последовательные разности и проводя тестирование получающихся рядов из разностей на стационарность. На практике чаще всего анализируемый ряд сводится к стационарному после вычисления последовательных разностей максимум второго порядка.

2) После получения стационарного ряда подбирают соответствующую авторегрессионную или АРСС(p,q) - модель для его описания. При этом следует стремится выбирать наиболее простую модель с наименьшими значениями параметров p и q.

3) На этом этапе решается задача оценивания коэффициентов подобранной АРСС - модели.

Прогнозирование нестационарных рядов с использованием АРИСС - моделей

Метод прогнозирования рассмотрим на примере АРИСС(1,0,1) - процесса. Первые разности рассматриваемого ряда подчиняются уравнению

(5.84)

Запишем равенство

(5.85)

Далее, выразим значения , через z_t, используя уравнение авторегрессии (5.84) и подставим получившиеся выражения в (5.85). Будем иметь

(5.86)

где

(5.87)

При выводе выражения (5.86) мы использовали формулу для суммы членов геометрической прогрессии:

Оптимальный в смысле минимума среднеквадратичной ошибки прогноз значения ряда в момент по наблюдениям ряда до момента t дается формулой

(5.88)

при этом ошибка прогноза равна . Используя выражение (5.87) , можно вычислить дисперсию ошибки (теоретическую)

откуда видно, что она возрастает с ростом , что вполне естественно, поскольку точность прогноза ухудшается с ростом горизонта прогноза.

Замечание

Все рассуждения данного раздела были проведены в предположении, что параметры процесса известны. На самом деле на практике можно получить только их оценки. Поэтому в уравнении прогноза (5.88) при реальных расчетах вместо истинных значений параметров используются их оценки. Это же касается расчета точностных характеристик прогноза (дисперсий и среднеквадратических ошибок).