Эконометрика

Глава 7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

7.4. Двухшаговый метод наименьших квадратов

На практике, для оценивания систем одновременных уравнений, как правило, используется двухшаговый метод наименьших квадратов, который лишен недостатков, присущих косвенному МНК. Рассмотрим этот метод.

Запишем i - ое структурное уравнение системы (7.16) в виде

Заметим, что в правую часть этого уравнения переменная не входит. Для n наблюдений в матричной форме получим

(7.28)

где

Заметим, что в матрице отсутствует i - ый столбец.

Приведенную форму i - го уравнения системы можно записать в виде

Для n наблюдений получим

(7.29)

где, матрица X совпадает с матрицей .

В двухшаговом методе наименьших квадратов исходное структурное уравнение преобразуется таким образом, чтобы в нем регрессоры и случайные ошибки были некоррелированы.

Первый шаг двухшагового МНК

Обычным методом наименьших квадратов оцениваем каждое уравнение приведенной формы для каждого незапаздывающего эндогенного регрессора структурной формы системы. В результате получаем оценки

(7.30)

Для всех i = 1, 2,…,m строим прогноз

Второй шаг двухшагового МНК

На втором шаге строим обычные МНК - оценки параметров структурного уравнения (7.28), в котором в качестве рядов наблюдений незапаздывающей эндогенной переменной используем прогнозные оценки . Таким образом, на втором шаге строятся МНК оценки векторов структурных параметров в регрессии

(7.31)

В этом уравнении экзогенные переменные некоррелированы со случайным членом. Запишем выражение для оценок. Для этого введем блочную матрицу , и составной вектор . Тогда уравнение (7.31) можно записать в виде

(7.32)

МНК - оценки вектора параметров уравнения (7.32) имеют вид

Это и будут окончательные оценки структурных параметров, полученные с помощью двухшагового МНК (кратко говорят - 2МНК - оценки).

Замечание 1.

Для реализации 2МНК необходимо, чтобы количество наблюдений n было существенно больше количества предопределенных переменных k в i - ом уравнении. Если n = k, то будет выполнено равенство и, следовательно, в уравнении (7.31) регрессоры останутся коррелированными с ошибками.

Замечание 2.

В 2МНК по - существу, реализована идея метода инструментальных переменных, где в качестве таковых используются прогнозные значения , полученные на первом шаге. Следовательно, 2МНК - оценки обладают всеми "хорошими" свойствами обычных МНК - оценок - несмещенностью, состоятельностью, эффективностью.

Замечание 3.

В двухшаговом методе наименьших квадратов каждое уравнение системы оценивается независимо от других. Существует другой метод оценивания систем одновременных уравнений, называемый трехшаговым методом наименьших квадратов, который позволяет получать оценки с учетом взаимосвязи уравнений.

Замечание 4.

С помощью двухшагового метода наименьших квадратов оцениваются отдельные уравнения структурной формы, то есть при однократном применении формул 2МНК-оценок оцениваются параметры только одного уравнения. Последовательное применение метода к каждому из уравнений позволяет получить оценки структурных параметров всех уравнений. При этом первый шаг двухшагового МНК для каждой незапаздывающей эндогенной переменной выполняется только один раз, несмотря на то, что эта переменная может входить в качестве регрессора в несколько структурных уравнений.

Замечание 5.

Для оценки параметров структурной формы и прогноза зависимой переменной на первом шаге, а также для построения оценок структурных параметров на втором шаге 2МНК, можно использовать рекуррентную версию метода наименьших квадратов, описанную в п. 6.2.