Эконометрика

Глава 6. АНАЛИЗ МНОГОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

6.6. Идентификация многомерных моделей

6.6.1. Оценивание параметров линейных моделей

Оценивание параметров полностью наблюдаемых многомерных процессов

Рассмотрим сначала задачу оценивания параметров многомерного процесса, описываемого векторным уравнением

(6.59)

где b - некоторый скалярный параметр, компоненты вектора u(t) имеют одинаковые дисперсии, равные единице. Очевидно, параметр b играет роль среднеквадратичных отклонений компонент вектора возмущений u, которые предполагаются постоянными и одинаковыми для всех компонент. Предположим, что вектор состояния x(t) полностью наблюдается (то есть доступны наблюдению без ошибок все его компоненты). Необходимо оценить p² элементов матрицы A и параметр b. Это можно сделать, если имеется достаточно большая выборка прошлых наблюдений вектора x(t).

Пусть к некоторому моменту времени t имеется ряд наблюдений . Тогда оценка матрицы A получается по следующей формуле

(6.60)

Уравнение (6.60) можно записать в виде

(6.61)

Оценки вида (6.61) обладают следующим свойством: если процесс, описываемый моделью (6.59), является стационарным, то последовательность оценок при с вероятностью единица сходится к истинному значению матрицы A:

где , - истинные (теоретические) ковариационные матрицы векторов для различающихся на единицу и совпадающих моментов времени.

Для того, что бы процесс (6.59) был стационарным, необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы A по абсолютной величине были строго меньше единицы.

Несмещенная оценка параметра b² вычисляется по формуле

(6.62)

Замечание

Оценки вида (6.61) и (6.62) являются оптимальными в смысле минимума дисперсий ошибок оценок. Если компоненты вектора возмущений распределены по нормальному закону, то эти оценки совпадают с оценками, полученными по критерию максимума функции правдоподобия.

Оценивание параметров неполностью наблюдаемых многомерных процессов

Применение фильтра Калмана в общем случае требует знания матриц модели А, B, H и ковариационной матрицы шумов наблюдений V. Ковариационную матрицу ошибок без потери общности можно положить равной единичной матрице, так как в качестве шумов, действующих на процесс, можно взять вектор с ковариационной матрицей . Задача оценивания всех матриц неполностью наблюдаемого многомерного процесса достаточно сложна и мы ее рассматривать не будем. На практике при моделировании реальных процессов часто допустимо предположить, что ковариационные матрицы шумов диагональны и, исходя из анализа характера процесса, установить уровень дисперсий шумов, то есть задать диагональные элементы ковариационных матриц. Структура и элементы матрицы наблюдений H также часто бывают известны.

Рассмотрим один из эффективных и важных для практики подходов к оцениванию матрицы A в случае, если все компоненты вектора состояний доступны наблюдению, но с ошибками, то есть процесс описывается уравнениями

(6.63)

(6.64)

В качестве оценки матрицы A по совокупности прошлых наблюдений можно взять оценку

(6.65)

Оценки вида (6.65) обладают следующими важными свойствами:

1) Если процесс (6.63) стационарный, последовательность оценок вида (6.65) при сходится к истинному значению матрицы A с вероятностью единица.

2) Фильтр Калмана, построенный для оценивания состояния процесса (6.63) по наблюдениям (6.64), с использованием вместо матрицы A ее оценок (6.65), дает оценку состояния процесса (6.63), сходящуюся с вероятностью единица (при ) к оценке, даваемой фильтром Калмана с истинной матрицей A.

Таким образом, и параметры, и состояния оцениваются одновременно.

6.6.2. Расширенный фильтр Калмана: одновременное оценивание состояний и параметров в нелинейных моделях

Один из эффективных и широко используемых на практике подходов к оцениванию параметров и состояний многомерных процессов состоит в следующем. Рассмотрим нелинейную модель, описывающую нелинейный процесс

(6.66)

(6.67)

где и - векторные функции. Модель (6.66), (6.67) зависит от вектора неизвестных параметров , который в общем случае может зависеть от времени. Примером нелинейной модели вида (6.66), (6.67) может служить линейная модель процесса (6.29), (6.30) с неизвестными параметрами - элементами матриц A и H.

Введем расширенный вектор состояния

и предположим, что параметры меняются в соответствии с уравнением

где вектор моделирует случайные флуктуации параметров. Тогда эволюция расширенного вектора состояний описывается уравнением

(6.68)

Уравнение наблюдений примет вид

(6.69)

Разложим функцию в ряд Тейлора в точке , оставив только линейные члены

где

и заменим функцию ее разложением в ряд в точке :

где матрица

Таким образом, нелинейные уравнения состояния и наблюдения (6.68), (6.69) аппроксимируются линейными уравнениями вида

(6.70)

(6.71)

Поскольку эта аппроксимация линейна относительно расширенного вектора состояний , для его оценивания можно использовать уравнения фильтра Калмана, определив предварительно характеристики шумов и v. Обычно предполагают, что

здесь - символ Кронекера, , если i = k, , если , - ковариационная матрица шумов параметров . Если нет какой - либо дополнительной информации, то матрицы полагают диагональными.

При реализации расширенного фильтра Калмана на каждой итерации необходимо провести следующие вычисления.

1) Определить прогноз расширенного вектора состояний на один шаг. Для этого можно использовать нелинейное уравнение

(6.72)

вместо его линеаризованной аппроксимации.

2). Вычислить параметры фильтра на основе линеаризованной модели по следующим формулам

(6.73)

(6.74)

(6.75)

3). Определить оценку вектора состояний по формуле

(6.76)

Заметим, что в уравнении для оценки (6.76) используется функция вместо ее линеаризованного приближения.

Фильтр, описываемый уравнениями (6.72) - (6.76), называется расширенным или линеаризованным фильтром Калмана.

Расширенный фильтр Калмана позволяет получить оценки вектора состояний расширенной системы, который включает оценки параметров, то есть параметры и состояния оцениваются одновременно.

Фильтр Калмана и его различные модификации (например, только что рассмотренный расширенный фильтр) широко используются на практике в самых разнообразных областях приложений. На базе теории калмановской фильтрации созданы системы навигации и управления космическими аппаратами и другими подвижными объектами, системы управления производственными процессами и др. В настоящее время эта теория находит также широкое применение и для решения разнообразных задач в экономике и финансах. Популярность фильтра Калмана обусловлена простотой его практической реализации и возможностью эффективного решения разнообразных задач оценивания. Однако существуют проблемы, касающиеся численной реализации фильтра Калмана, основная из которых связана с возможной расходимостью фильтра.

Анализу алгоритмов фильтрации на базе фильтра Калмана, его многочисленным модификациям и обобщениям, применениям в различных сферах, в том числе и в экономике, посвящено огромное количество публикаций в научных журналах, а также монографий и учебников. Мы же рассмотрели лишь некоторые вопросы, касающиеся теории калмановской фильтрации и ее применения в эконометрике.