Эконометрика

Глава 8. АНАЛИЗ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КОРОТКИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПРИВЛЕЧЕНИЕМ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Данная глава посвящена изложению некоторых доступных для студентов - экономистов методов анализа коротких временных рядов. Подробно обсуждаются проблемы, связанные с анализом временных рядов в условиях малого числа наблюдений, возможные подходы к прогнозированию коротких временных рядов с привлечением экспертной информации, методы выбора наиболее адекватных моделей. Материал главы содержит изложение новейших достижений в данной области и служит дополнением к главе 5, посвященной статистическому анализу временных рядов. Изложение основано на результатах монографии [9].

8.1. Понятие короткого временного ряда. Методы описания коротких временных рядов. Проблемы, связанные с анализом и прогнозированием по коротким временным рядам

Рассмотрим временной ряд , t=1,2,... . Предположим, что имеется всего n наблюдений ряда. Задача прогнозирования состоит в определении будущих значений ряда , t = n + 1, n + 2,...,n + m, на основе всей имеющейся в распоряжении информации о его прошлых (наблюдаемых), значениях. Период времени (1,2,...,n) будем называть периодом основания прогноза, период времени (t = n + 1, n + 2,...,n + m) будем называть периодом упреждения прогноза. Последовательность , определенная на периоде упреждения, должна наилучшим образом согласовываться как с наблюдаемыми прошлыми значениями ряда, так и наилучшим образом описывать его будущее поведение на периоде упреждения. Назовем такую последовательность прогнозной.

До сих пор (см. главы 5, 6), рассматривая статистические методы оценивания параметров моделей временных рядов и их прогнозирования, мы предполагали, что последовательность наблюдений ряда достаточно велика для того, чтобы проявились асимптотические свойства оценок, то есть получаемые оценки были достаточно близки к их истинным теоретическим значениям. Кроме того, величина периода основания прогноза должна быть достаточной, чтобы можно было на основе прошлых наблюдений выявить тенденции в изменениях значений ряда и провести их прогноз на будущее. Однако, если количество наблюдений n мало (короткий период основания прогноза), удовлетворительный прогноз ряда на основе только прошлых его наблюдений оказывается невозможным и в этом случае требуется привлечение дополнительной информации о прогнозируемом явлении.

Формализация понятия "короткий временной ряд"

Определим оценку минимального количества наблюдений, при котором можно считать ряд коротким. Рассмотрим модель ряда, систематическая часть которого представляет собой линейный тренд:

(8.1)

где независимые случайные ошибки (возмущения), с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Прогноз ряда (8.1) определяется в соответствии с уравнением

(8.2)

где t принимает значения из периода упреждения, то есть t = n + 1, n + 2,...,n + m. Применяя метод наименьших квадратов, можно получить оценки параметров модели (8.1) по наблюдениям ряда на периоде основания прогноза

Дисперсии и взаимная ковариация оценок равны

(8.3)

(8.4)

(8.5)

Используя выражения (8.2) - (8.5), определим дисперсию прогноза на шагов (говорят: прогноз глубиной ). Имеем

Далее, поскольку

можно записать

(8.6)

Подставим в (8.6) ранее выведенные соотношения (8.3) - (8.5) для дисперсий и ковариации и окончательно получим

где

(8.7)

Коэффициент равен отношению дисперсии прогноза к дисперсии случайных возмущений и может служить характеристикой качества прогноза с использованием модели (8.1). Используя выражение (8.7) для этого коэффициента, можно определить минимальную длительность периода основания , при которой дисперсия прогноза не превышает дисперсию возмущений более чем в q раз, при заданной глубине прогноза . Величина определяется как целочисленное решение следующего уравнения:

В таблице 8.1 приведены значения при различных q и .

Таблица 8.1

Временной ряд будем называть коротким для заданных m и q, если период его наблюдений .

Замечание

Выше мы рассмотрели модель линейного тренда. Аналогично величину можно определить и для полиномиальных трендов более высокого порядка.

Проблемы, связанные с прогнозированием по коротким временным рядам

Основные проблемы, которые возникают при прогнозировании по коротким временным рядам, связаны с недостатком априорной (прошлой) информации о поведении ряда и заключаются в следующем:

1) имея короткий ряд данных невозможно на основе только прошлых наблюдений выявить долгосрочные тенденции развития процесса;

2) оценки параметров модели ряда ненадежны;

3) применение традиционных статистических методов оценки точности прогноза (определение доверительных интервалов, проверка гипотез) оказывается невозможным;

4) теряет смысл детальный статистический анализ остатков модели и, следовательно, критерии адекватности, такие как , становятся неприменимыми;

5) при анализе коротких рядов не имеет смысла использовать сложные модели для описания трендов, так как их оценивание требует больших выборок, можно ограничиться линейными или квадратичными трендами.

Таким образом, анализ и прогнозирование коротких временных рядов практически невозможны без привлечения дополнительной, экспертной информации о предполагаемых свойствах ряда (наблюдаемого явления).