Эконометрика

Глава 4. ОБОБЩЕНИЯ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

4.7. Метод инструментальных переменных

В предыдущем разделе мы установили, что в модели со стохастическими регрессорами сохраняются свойства оценок классической модели, если регрессоры и случайная составляющая модели некоррелированы. Но что делать, если это условие не выполняется? Можно ли построить несмещенные и состоятельные оценки для модели, в которой регрессоры коррелированы со случайной составляющей? Оказывается, можно, и один из методов, который называется методом инструментальных переменных, мы рассмотрим.

Идея метода инструментальных переменных заключается в следующем. Подбираются новые независимые переменные (стохастические регрессоры), которые называются инструментальными таким образом, чтобы эти переменные были "сильно" коррелированы с регрессорами модели, но были не коррелированы с возмущениями модели. Обозначим матрицу значений инструментальных переменных символом Z. Ее размерность совпадает с размерностью матрицы регрессоров модели X. Тогда условия, которым должны удовлетворять инструментальные переменные, можно записать следующим образом:

(4.53)

(4.54)

где - невырожденная матрица,

(4.55)

где - положительно определенная матрица.

Если такие инструментальные переменные существуют (их действительно можно подобрать), то оценку вектора коэффициентов исходной модели определяют по формуле

(4.56)

Оценка ее условной ковариационной матрицы определяется выражением

где оценка условной дисперсии возмущений

Можно показать, что если инструментальные переменные удовлетворяют условиям (4.53) - (4.55), то оценка вида (4.56) будет несмещенной (условно и безусловно) и состоятельной (см. С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян, с. 725, [1])

Основная трудность при применении метода инструментальных переменных состоит в подборе таких вспомогательных переменных, которые удовлетворяли бы сформулированным выше требованиям, и которые можно было бы наблюдать на тех же пространственных (или временных) выборках объектов, что и регрессоры исходной модели. Очевидно, что этот метод можно реализовать только в случае, если такие переменные существуют. К сожалению, формальных рекомендаций по выбору инструментальных переменных при решении конкретной практической задачи дать невозможно. В данном случае может помочь только тщательный неформальный анализ исследуемого объекта, квалификация, опыт и интуиция исследователя.